Probability of A or B: Unions of Events in Bengali

সম্ভাবনার নিয়ম: Union (OR) এবং Disjoint Events

আগের পোস্টে আমরা সম্ভাবনার মৌলিক ধারণা, যেমন Sample Space এবং Complement শিখেছি। এখন আমরা সম্ভাবনার একটি অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ নিয়ম নিয়ে আলোচনা করব: দুটি ঘটনার মধ্যে যেকোনো একটি ঘটার সম্ভাবনা কীভাবে গণনা করা হয়। একে **Union** বা **"OR"** স্টেটমেন্ট বলা হয়।

একটি উদাহরণ: ছক্কা নিক্ষেপ

ধরুন, আমরা একটি ছক্কা নিক্ষেপ করছি। ছক্কাটির প্রতিটি পিঠে (১ থেকে ৬) আসার সম্ভাবনা সমান, অর্থাৎ ১/৬। এখানে, ছক্কার ফলাফলকে আমরা একটি র‍্যান্ডম ভেরিয়েবল (Random Variable) X হিসাবে চিহ্নিত করতে পারি।

এখন, যদি আমরা জানতে চাই, "ছক্কায় ১ অথবা ২ ওঠার সম্ভাবনা কত?"

গাণিতিকভাবে এটিকে লেখা হয়: P(X=1 ∪ X=2) অথবা P(X=1 OR X=2)।

যেহেতু ১ এবং ২ দুটি আলাদা ঘটনা, আমরা তাদের সম্ভাবনা যোগ করতে পারি:

P(X=1 or X=2) = P(X=1) + P(X=2) = ১/৬ + ১/৬ = ২/৬ = ১/৩।

কখন সাধারণ যোগ কাজ করে না?

এখন একটু ভিন্ন পরিস্থিতি বিবেচনা করা যাক। ধরা যাক, দুটি ঘটনা হলো:

• ঘটনা A: একটি জোড় সংখ্যা (even number) আসা। অর্থাৎ {২, ৪, ৬}। P(A) = ৩/৬ = ১/২।
• ঘটনা B: ৫ অথবা ৬ আসা। অর্থাৎ {৫, ৬}। P(B) = ২/৬ = ১/৩।

আমরা যদি জানতে চাই, P(A or B) অর্থাৎ, "জোড় সংখ্যা অথবা ৫ বা ৬ আসার সম্ভাবনা কত?"

আমরা যদি সহজভাবে P(A) + P(B) করি, তাহলে পাই ১/২ + ১/৩ = ৫/৬।

কিন্তু এটি ভুল! কারণ, এখানে '৬' সংখ্যাটি জোড় সংখ্যা (ঘটনা A) এবং '৫ বা ৬'-এর মধ্যেও (ঘটনা B) রয়েছে। ফলে, '৬' আসার সম্ভাবনাকে আমরা দুবার গণনা করে ফেলেছি।

Union-এর সাধারণ সূত্র

এই দ্বৈত গণনার সমস্যা দূর করার জন্য, আমাদের দুটি ঘটনার common অংশটি একবার বিয়োগ করতে হবে। একে বলা হয় Intersection বা "AND"।

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)

এখানে, P(A ∩ B) হলো A এবং B উভয়ই একসাথে ঘটার সম্ভাবনা।

• আমাদের উদাহরণে, A এবং B-এর মধ্যে common অংশ হলো '৬' আসা। সুতরাং, P(A ∩ B) = ১/৬।
• এখন সঠিক সম্ভাবনা হবে: P(A or B) = P(A) + P(B) - P(A and B) = (১/২) + (১/৩) - (১/৬) = (৩/৬ + ২/৬ - ১/৬) = ৪/৬ = ২/৩।

Disjoint বা Mutually Exclusive ঘটনা

যখন দুটি ঘটনা একসাথে ঘটা অসম্ভব, তখন তাদের **Disjoint** বা **Mutually Exclusive** বলা হয়।

• উদাহরণ: একটি ছক্কা নিক্ষেপে ১ এবং ২ একসাথে আসা অসম্ভব। তাই, এই দুটি ঘটনা Disjoint।
• Disjoint ঘটনাগুলোর ক্ষেত্রে, P(A ∩ B) = 0 হয়।

এ কারণেই আমাদের প্রথম উদাহরণে (১ অথবা ২ আসা) সাধারণ যোগের নিয়মটি কাজ করেছিল।

শেষ কথা

এই পোস্টে আমরা শিখলাম কীভাবে "OR" ঘটনার সম্ভাবনা গণনা করতে হয় এবং কেন সাধারণ যোগের নিয়ম সবসময় কাজ করে না। Disjoint ঘটনা এবং Union-এর সাধারণ সূত্র বোঝা সম্ভাবনার আরও জটিল সমস্যা সমাধানের ভিত্তি তৈরি করে।

পরবর্তী পোস্টে আমরা Intersection বা "AND" ঘটনার সম্ভাবনা নিয়ে বিস্তারিত আলোচনা করব।

© ২০২৫ পরিসংখ্যান টিউটোরিয়াল