Probability of A and B: Intersections and Conditional Probability in Bengali

সম্ভাবনার নিয়ম: Intersection ('AND') এবং Conditional Probability

আগের পোস্টে আমরা দুটি ঘটনার Union (OR) নিয়ে আলোচনা করেছি। এখন আমরা শিখব কীভাবে দুটি ঘটনা একসাথে ঘটার সম্ভাবনা গণনা করতে হয়, যা **Intersection** বা **"AND"** স্টেটমেন্ট নামে পরিচিত। এই ধারণাটি বোঝার জন্য আমাদের **Conditional Probability** বা শর্তাধীন সম্ভাবনা সম্পর্কে জানতে হবে।

উদাহরণ: ছক্কা নিক্ষেপ

ধরা যাক, একটি ছক্কা নিক্ষেপের দুটি ঘটনা হলো:

• ঘটনা A: একটি জোড় সংখ্যা (Even Number) আসা। অর্থাৎ {২, ৪, ৬}। এর সম্ভাবনা, P(A) = ৩/৬ = ১/২।
• ঘটনা B: ৩ বা তার চেয়ে বড় সংখ্যা আসা। অর্থাৎ {৩, ৪, ৫, ৬}। এর সম্ভাবনা, P(B) = ৪/৬ = ২/৩।

আমরা জানতে চাই, P(A and B) অর্থাৎ, "একটি জোড় সংখ্যা এবং তা ৩ বা তার চেয়ে বড় হওয়ার সম্ভাবনা কত?"

এখানে, উভয় শর্ত পূরণ করে এমন ফলাফল হলো {৪, ৬}। সুতরাং, ৬টি সম্ভাব্য ফলাফলের মধ্যে ২টি আমাদের অনুকূলে।
অতএব, P(A and B) = ২/৬ = ১/৩।

Conditional Probability: সাধারণ গুণের নিয়ম

দুটি ঘটনার Intersection বের করার সাধারণ সূত্রটি হলো শর্তাধীন সম্ভাবনার উপর নির্ভরশীল:

P(A and B) = P(A) * P(B | A)

এখানে P(B | A) মানে হলো, "যদি ঘটনা A সত্যি হয়, তাহলে ঘটনা B ঘটার সম্ভাবনা কত?" একে "Probability of B given A" বলা হয়।

উদাহরণ দিয়ে বোঝা যাক:

আমরা জানি ঘটনা A (জোড় সংখ্যা) ঘটেছে। অর্থাৎ, ফলাফল অবশ্যই {২, ৪, ৬}-এর মধ্যে একটি। এখন এই তিনটি সংখ্যার মধ্যে ঘটনা B (৩ বা তার চেয়ে বড় সংখ্যা) ঘটার সম্ভাবনা কত? এই তিনটি সংখ্যার মধ্যে ২টি (৪ এবং ৬) ৩-এর চেয়ে বড়।

সুতরাং, P(B | A) = ২/৩।

এখন সূত্রে মান বসিয়ে পাই:
P(A and B) = P(A) * P(B | A) = (১/২) * (২/৩) = ২/৬ = ১/৩।

ফলাফলটি আমাদের আগের গণনার সাথে মিলে গেছে!

Independence (স্বাধীনতা): কখন সাধারণ গুণ কাজ করে?

যদি দুটি ঘটনা **Independent** বা স্বাধীন হয়, তার মানে একটি ঘটনা ঘটা বা না ঘটা অন্যটির সম্ভাবনাকে প্রভাবিত করে না।

গাণিতিকভাবে, যদি P(B | A) = P(B) হয়, তবে A এবং B স্বাধীন।

স্বাধীন ঘটনাগুলোর ক্ষেত্রে, Intersection-এর সূত্রটি অনেক সহজ হয়ে যায়:

P(A and B) = P(A) * P(B)

উদাহরণ: ধরা যাক, ঘটনা C হলো "৪ বা তার চেয়ে বড় সংখ্যা" আসা ({৪, ৫, ৬}), যার P(C) = ১/২। এখানে P(A and C) হলো {৪, ৬}, যার সম্ভাবনা ১/৩। কিন্তু P(A) * P(C) = (১/২) * (১/২) = ১/৪। যেহেতু ফলাফল মিলছে না, A এবং C স্বাধীন নয়।

শেষ কথা

দুটি ঘটনার Intersection বের করার সময় তারা স্বাধীন নাকি নির্ভরশীল, তা জানা জরুরি। নির্ভরশীল ঘটনার জন্য আমাদের শর্তাধীন সম্ভাবনার সূত্র ব্যবহার করতে হয়, আর স্বাধীন ঘটনার ক্ষেত্রে আমরা সরাসরি তাদের সম্ভাবনা গুণ করতে পারি। এই ধারণাটি পরিসংখ্যানের আরও অনেক জটিল বিশ্লেষণের ভিত্তি তৈরি করে।

© ২০২৫ পরিসংখ্যান টিউটোরিয়াল