Independence, Conditional Probability, Intersections example in Bengali

সম্ভাবনার অনুশীলন: Independence এবং Conditional Probability

আগের পোস্টগুলিতে আমরা সম্ভাবনার Union (OR) এবং Intersection (AND) এর নিয়মাবলী শিখেছি। এই পোস্টে, আমরা বিভিন্ন উদাহরণের মাধ্যমে এই ধারণাগুলির অনুশীলন করব, বিশেষ করে **Independence (স্বাধীনতা)** এবং **Conditional Probability (শর্তাধীন সম্ভাবনা)** এর উপর জোর দেব।

কেস ১: যখন ঘটনা দুটি Independent (স্বাধীন)

দুটি ঘটনাকে স্বাধীন বলা হয় যখন একটির ফলাফল অন্যটির সম্ভাবনাকে প্রভাবিত করে না।

উদাহরণ: ধরা যাক,

• ঘটনা A ঘটার সম্ভাবনা, P(A) = 0.4
• ঘটনা B ঘটার সম্ভাবনা, P(B) = 0.5
• A এবং B ঘটনা দুটি স্বাধীন।

আমাদের লক্ষ্য হলো P(A or B) বের করা। এর জন্য প্রথমে আমাদের P(A and B) জানতে হবে। যেহেতু ঘটনা দুটি স্বাধীন, আমরা গুণের নিয়ম ব্যবহার করতে পারি:

P(A and B) = P(A) * P(B)

P(A and B) = 0.4 * 0.5 = 0.20

এখন আমরা Union-এর সাধারণ সূত্র ব্যবহার করব:

P(A or B) = P(A) + P(B) - P(A and B)

P(A or B) = 0.4 + 0.5 - 0.20 = 0.70

গুরুত্বপূর্ণ নোট: স্বাধীন (Independent) এবং বিচ্ছিন্ন (Disjoint) ঘটনা এক নয়। Disjoint ঘটনা একসাথে ঘটতে পারে না (P(A and B) = 0), তাই তারা একে অপরের ওপর নির্ভরশীল। স্বাধীন ঘটনা একসাথে ঘটতে পারে, কিন্তু একটির প্রভাব অন্যটির ওপর পড়ে না।

কেস ২: যখন ঘটনা দুটি Dependent (নির্ভরশীল)

যখন একটি ঘটনা অন্যটির সম্ভাবনাকে প্রভাবিত করে, তখন তারা নির্ভরশীল। এই ক্ষেত্রে আমাদের Conditional Probability ব্যবহার করতে হয়।

উদাহরণ: ধরা যাক,

• P(A) = 0.4
• P(B) = 0.5
• A ঘটনা ঘটার শর্তে B ঘটার সম্ভাবনা, P(B | A) = 0.4

এখানেও আমাদের লক্ষ্য P(A or B) বের করা। এর জন্য প্রথমে P(A and B) প্রয়োজন। নির্ভরশীল ঘটনার ক্ষেত্রে Intersection-এর সূত্র হলো:

P(A and B) = P(A) * P(B | A)

P(A and B) = 0.4 * 0.4 = 0.16

এখন Union-এর সূত্রে এই মান বসিয়ে পাই:

P(A or B) = P(A) + P(B) - P(A and B)

P(A or B) = 0.4 + 0.5 - 0.16 = 0.74

বাস্তব উদাহরণ: একটি মুদ্রা তিনবার নিক্ষেপ

প্রশ্ন: একটি সঠিক মুদ্রা (fair coin) পর পর তিনবার নিক্ষেপ করলে তিনটিই হেড (Heads) আসার সম্ভাবনা কত?

• প্রতিটি নিক্ষেপ একটি স্বাধীন ঘটনা। প্রথম নিক্ষেপের ফলাফল দ্বিতীয় বা তৃতীয়টিকে প্রভাবিত করে না।
• একবার হেড আসার সম্ভাবনা, P(H) = 0.5

যেহেতু ঘটনাগুলো স্বাধীন, আমরা সরাসরি তাদের সম্ভাবনা গুণ করতে পারি:

P(H and H and H) = P(H) * P(H) * P(H) = 0.5 * 0.5 * 0.5 = 0.125 বা ১/৮।

শেষ কথা

এই অনুশীলন থেকে আমরা দেখলাম কীভাবে বিভিন্ন পরিস্থিতিতে (স্বাধীন, নির্ভরশীল, বিচ্ছিন্ন) সম্ভাবনার সূত্র প্রয়োগ করতে হয়। ভেন ডায়াগ্রামের মাধ্যমে এই ধারণাগুলি কল্পনা করলে সমস্যা সমাধান আরও সহজ হয়। এই নিয়মগুলি বোঝা পরিসংখ্যানের জটিলতর বিষয়, যেমন বাইনোমিয়াল ডিস্ট্রিবিউশন, বোঝার জন্য অপরিহার্য।

© ২০২৫ পরিসংখ্যান টিউটোরিয়াল