Expected value in Bengali

পরিসংখ্যানের গুরুত্বপূর্ণ ধারণা: এক্সপেক্টেড ভ্যালু (Expected Value) কী?

আমরা প্রায়শই "গড়" বা "average" শব্দটি ব্যবহার করি। যেমন, পরীক্ষায় কয়েকটি বিষয়ের নম্বরের গড় বা শেষ তিনটি ম্যাচে একজন ব্যাটসম্যানের গড় রান। এটি হলো স্যাম্পেল গড় (Sample Mean), যা কয়েকটি নির্দিষ্ট ডেটার উপর ভিত্তি করে গণনা করা হয়।

কিন্তু যদি আমরা জানতে চাই, "একটি ছক্কা চাললে গড়ে কত পয়েন্ট পাওয়া যাবে?" বা "একটি লটারির টিকিট কিনলে গড়ে কত টাকা জেতার সম্ভাবনা থাকে?"—এই প্রশ্নগুলোর উত্তর শুধু কয়েকটি চেষ্টার গড় দিয়ে পাওয়া যায় না। এর জন্য আমাদের প্রয়োজন এক্সপেক্টেড ভ্যালু (Expected Value) বা পপুলেশন গড় (Population Mean), যা একটি ঘটনার সমস্ত সম্ভাব্য ফলাফল এবং তাদের নিজ নিজ সম্ভাবনাকে বিবেচনায় রাখে।

সহজ কথায়, এক্সপেক্টেড ভ্যালু হলো কোনো একটি র‍্যান্ডম ভেরিয়েবলের দীর্ঘমেয়াদী গড় মান।

আমাদের আজকের উদাহরণ: কলকাতার দুর্গাপূজার মেলার একটি খেলা!

চলুন, আমরা কলকাতার কোনো একটি বিখ্যাত দুর্গাপূজার প্যান্ডেলের মেলার একটি স্পিনার (spinner) খেলার কথা ভাবি। খেলাটির নিয়ম হলো, আপনি একবার স্পিনারটি ঘোরাবেন এবং কাঁটাটি যেখানে থামবে, আপনি সেই পুরস্কারটি জিতবেন।

স্পিনারটিতে ৪টি ভাগ আছে এবং প্রতিটি ভাগের পুরস্কার ও জেতার সম্ভাবনা নিচে দেওয়া হলো:

• ₹৫০ জেতার সম্ভাবনা: 0.05 (5%)
• ₹২০ জেতার সম্ভাবনা: 0.15 (15%)
• ₹১০ জেতার সম্ভাবনা: 0.30 (30%)
• ₹০ জেতার সম্ভাবনা (অর্থাৎ কিছুই না পাওয়া): 0.50 (50%)

এখন প্রশ্ন হলো, যদি আপনি এই খেলাটি অনেকবার খেলেন, তবে প্রতি খেলায় গড়ে কত টাকা জেতার আশা করতে পারেন? এই প্রশ্নের উত্তরই হলো এক্সপেক্টেড ভ্যালু।

এক্সপেক্টেড ভ্যালু কীভাবে গণনা করা হয়?

এক্সপেক্টেড ভ্যালু গণনা করার সূত্রটি বেশ সহজ। এটি হলো প্রতিটি সম্ভাব্য ফলাফলের মান এবং তার নিজ নিজ সম্ভাবনার গুণফলের যোগফল।

গাণিতিকভাবে,

$$ E[X] = \sum x \cdot P(x) $$

এখানে:

• E[X] হলো এক্সপেক্টেড ভ্যালু।
• x হলো প্রতিটি সম্ভাব্য ফলাফল (যেমন, আমাদের খেলায় জেতা টাকার পরিমাণ)।
• P(x) হলো সেই ফলাফল পাওয়ার সম্ভাবনা।
• Σ চিহ্নটি সমস্ত সম্ভাব্য ফলাফলের জন্য যোগফল বোঝায়।

আমাদের উদাহরণে প্রয়োগ

চলুন, আমাদের মেলার খেলার এক্সপেক্টেড ভ্যালু বের করি:

$$ E[\text{Winnings}] = (50 \times 0.05) + (20 \times 0.15) + (10 \times 0.30) + (0 \times 0.50) $$ $$ E[\text{Winnings}] = 2.5 + 3.0 + 3.0 + 0 $$ $$ E[\text{Winnings}] = 8.5 $$

ফলাফলটি হলো ₹৮.৫। এর মানে কী? এর মানে এই নয় যে আপনি কোনো একটি খেলায় ঠিক ₹৮.৫ জিতবেন। বরং, এর অর্থ হলো, যদি আপনি এই খেলাটি হাজার হাজার বার খেলেন, তবে আপনার প্রতি খেলায় গড় জেতার পরিমাণ হবে প্রায় ₹৮.৫। এই তথ্যটি জেনে আয়োজকরা খেলার টিকিটের দাম নির্ধারণ করতে পারেন, যাতে তাদের লাভ থাকে।

বাইনোমিয়াল ডিস্ট্রিবিউশনের এক্সপেক্টেড ভ্যালু

আগের পোস্টে আমরা বাইনোমিয়াল ডিস্ট্রিবিউশন নিয়ে আলোচনা করেছি। এর এক্সপেক্টেড ভ্যালু বের করার একটি খুব সহজ সূত্র রয়েছে:

$$ E[X] = n \times p $$

এখানে:

• n হলো মোট চেষ্টার সংখ্যা।
• p হলো প্রতিটি চেষ্টায় সফল হওয়ার সম্ভাবনা।

আমাদের আগের নিউ মার্কেটে দর কষাকষির উদাহরণে ফিরে যাই। সেখানে মোট চেষ্টা ছিল ৪টি (n=4) এবং সফল হওয়ার সম্ভাবনা ছিল 0.6 (p=0.6)।

তাহলে, এক্সপেক্টেড সফলতার সংখ্যা হবে:

$$ E[X] = 4 \times 0.6 = 2.4 $$

এর অর্থ হলো, গড়ে আপনি ২.৪ জন দোকানদারের সাথে সফলভাবে দর কষাকষি করার আশা করতে পারেন। বাস্তবে ২.৪ বার সফল হওয়া সম্ভব নয়, কিন্তু এটি দীর্ঘমেয়াদী গড়কে নির্দেশ করে।

উপসংহার

এক্সপেক্টেড ভ্যালু একটি শক্তিশালী ধারণা যা আমাদের কোনো র‍্যান্ডম প্রক্রিয়ার গড় ফলাফল সম্পর্কে পূর্বাভাস দেয়। এটি শুধুমাত্র একটি স্যাম্পেলের গড় নয়, বরং একটি সমগ্র সম্ভাবনার জগতের গড়। শেয়ার বাজার থেকে শুরু করে বীমা এবং খেলাধুলা পর্যন্ত, বিভিন্ন ক্ষেত্রে সিদ্ধান্ত নিতে এই ধারণাটি ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয়। এটি আমাদের কোনো একটি ডিস্ট্রিবিউশনের "কেন্দ্র" বা ভারসাম্য বিন্দু খুঁজে পেতে সাহায্য করে।

© 2025 Statistics Tutorial. All Rights Reserved.