the Empirical Rule example in Bengali

নরমাল ডিস্ট্রিবিউশনে সম্ভাবনা গণনা: এম্পিরিকাল রুলের গভীরে

আমরা আগের পোস্টে নরমাল ডিস্ট্রিবিউশন এবং এর প্রধান বৈশিষ্ট্য—বেল কার্ভের আকৃতি, প্রতিসাম্যতা, গড় (μ) ও স্ট্যান্ডার্ড ডেভিয়েশন (σ)—সম্পর্কে জেনেছি। আমরা আরও শিখেছি এম্পিরিকাল রুল (Empirical Rule) বা 68-95-99.7 নিয়ম, যা আমাদের বলে যে ডেটার কত শতাংশ গড়ের ১, ২ বা ৩ স্ট্যান্ডার্ড ডেভিয়েশনের মধ্যে থাকে।

এই নিয়মটি খুবই শক্তিশালী, কারণ এটি আমাদের জটিল গণনা ছাড়াই নরমাল ডিস্ট্রিবিউশনের সম্ভাবনা সম্পর্কে একটি প্রাথমিক ধারণা দেয়। আজ আমরা দেখব, কীভাবে এই নিয়ম এবং নরমাল ডিস্ট্রিবিউশনের প্রতিসাম্যতা ব্যবহার করে বিভিন্ন নির্দিষ্ট পরিসরের (range) জন্য সম্ভাবনা গণনা করা যায়।

আমাদের উদাহরণ: কলেজ স্ট্রিটের বই বাঁধাইয়ের ত্রুটি (পুনরালোচনা)

আমরা কলেজ স্ট্রিটের একজন বই বাঁধাইকারীর উদাহরণটি আবার ব্যবহার করব। তার বই বাঁধানোর কাজে গড় ত্রুটি (μ) হলো ০ মিমি এবং স্ট্যান্ডার্ড ডেভিয়েশন (σ) হলো ১ মিমি। এটি একটি স্ট্যান্ডার্ড নরমাল ডিস্ট্রিবিউশন (Standard Normal Distribution)।

আমরা জানি:

• ৬৮% কাটিং -১ মিমি থেকে +১ মিমি-এর মধ্যে থাকে।
• ৯৫% কাটিং -২ মিমি থেকে +২ মিমি-এর মধ্যে থাকে।
• ৯৯.৭% কাটিং -৩ মিমি থেকে +৩ মিমি-এর মধ্যে থাকে।

এম্পিরিকাল রুল এবং প্রতিসাম্যতা ব্যবহার করে সম্ভাবনা গণনা

এম্পিরিকাল রুল সরাসরি আমাদের \(P(X \le 1)\) বা \(P(X=0.5)\)-এর মতো প্রশ্নগুলোর উত্তর দেয় না। কিন্তু কিছু কৌশল ব্যবহার করে আমরা অনেক অজানা প্রশ্নের উত্তর বের করতে পারি।

1. ০ থেকে ১ স্ট্যান্ডার্ড ডেভিয়েশনের মধ্যে সম্ভাবনা:
   আমরা জানি যে, -১ থেকে +১ স্ট্যান্ডার্ড ডেভিয়েশনের মধ্যে ৬৮% ডেটা থাকে। যেহেতু নরমাল ডিস্ট্রিবিউশন প্রতিসম, তাই গড় (০) থেকে +১ পর্যন্ত এবং ০ থেকে -১ পর্যন্ত ডেটা সমানভাবে বণ্টিত থাকে। সুতরাং, ০ থেকে +১ স্ট্যান্ডার্ড ডেভিয়েশনের মধ্যে সম্ভাবনা হলো \( \frac{68\%}{2} = \textbf{34\%} \)।
2. ১ থেকে ২ স্ট্যান্ডার্ড ডেভিয়েশনের মধ্যে সম্ভাবনা:
   আমরা জানি যে -২ থেকে +২ এর মধ্যে ৯৫% এবং -১ থেকে +১ এর মধ্যে ৬৮% ডেটা থাকে। তাহলে, বাকি \( 95\% - 68\% = 27\% \) ডেটা এই দুই অংশের মধ্যে থাকে। প্রতিসাম্যতা অনুযায়ী, +১ থেকে +২ স্ট্যান্ডার্ড ডেভিয়েশনের মধ্যে সম্ভাবনা হলো \( \frac{27\%}{2} = \textbf{13.5\%} \)।
3. ২ থেকে ৩ স্ট্যান্ডার্ড ডেভিয়েশনের মধ্যে সম্ভাবনা:
   একইভাবে, -৩ থেকে +৩ এর মধ্যে ৯৯.৭% এবং -২ থেকে +২ এর মধ্যে ৯৫% ডেটা থাকে। বাকি \( 99.7\% - 95\% = 4.7\% \) ডেটার অর্ধেক, অর্থাৎ \( \frac{4.7\%}{2} = \textbf{2.35\%} \) থাকে +২ থেকে +৩ স্ট্যান্ডার্ড ডেভিয়েশনের মধ্যে।
4. ৩ স্ট্যান্ডার্ড ডেভিয়েশনের বাইরে সম্ভাবনা (Tails):
   ৯৯.৭% ডেটা -৩ থেকে +৩ এর মধ্যে থাকলে, বাকি \( 100\% - 99.7\% = 0.3\% \) ডেটা বাইরে থাকে। প্রতিসাম্যতা অনুযায়ী, +৩ স্ট্যান্ডার্ড ডেভিয়েশনের বেশি হওয়ার সম্ভাবনা হলো \( \frac{0.3\%}{2} = \textbf{0.15\%} \)।

বিভিন্ন পরিসরের সম্ভাবনা গণনা (জটিল প্রশ্ন):

এবারে আমরা একটি জটিল প্রশ্ন সমাধান করি। বই বাঁধাইকারীর কাটিং -২ মিমি থেকে +১ মিমি-এর মধ্যে থাকার সম্ভাবনা কত? অর্থাৎ, \( P(-2 \le Z \le 1) \) কত?

আমরা যে অংশগুলোর সম্ভাবনা বের করেছি, সেগুলোকে যোগ করলেই উত্তর পেয়ে যাবো:

• -২ থেকে -১ স্ট্যান্ডার্ড ডেভিয়েশন: 13.5%
• -১ থেকে ০ স্ট্যান্ডার্ড ডেভিয়েশন: 34%
• ০ থেকে +১ স্ট্যান্ডার্ড ডেভিয়েশন: 34%

তাহলে, মোট সম্ভাবনা হলো: \( 13.5\% + 34\% + 34\% = \textbf{81.5\%} \)।

উপসংহার

এম্পিরিকাল রুল এবং নরমাল ডিস্ট্রিবিউশনের প্রতিসাম্যতা ব্যবহার করে আমরা কেবল ১, ২, বা ৩ স্ট্যান্ডার্ড ডেভিয়েশনের মধ্যে থাকার সম্ভাবনাই নয়, বরং এই সীমাগুলোর মধ্যে অবস্থিত অন্যান্য গুরুত্বপূর্ণ পরিসরের সম্ভাবনাও গণনা করতে পারি। এটি আমাদের ডেটার বৈশিষ্ট্য সম্পর্কে একটি গভীর অন্তর্দৃষ্টি দেয় এবং অনুমানমূলক পরিসংখ্যানের ভিত্তি স্থাপন করে। যদিও এর সীমাবদ্ধতা রয়েছে এবং প্রতিটি প্রশ্নের উত্তর দিতে পারে না, তবুও এটি নরমাল ডিস্ট্রিবিউশনের ক্ষমতা বোঝার জন্য একটি চমৎকার সূচনা। ভবিষ্যতে আমরা Z-টেবিল বা সফটওয়্যার ব্যবহার করে আরও নির্ভুলভাবে সম্ভাবনা গণনা করা শিখব।

© 2025 Statistics Tutorial. All Rights Reserved.